Ο Αρχιμήδης και το πολύσπαστο: πώς ένας άνθρωπος κίνησε ένα πλοίο

Παλαιότερη από τον Αρχιμήδη

Μονές τροχαλίες εμφανίζονται σε ασσυριακά ανάγλυφα του όγδοου αιώνα π.Χ. και σε ελληνικά εργοτάξια έναν ή δύο αιώνες αργότερα: ένα σχοινί πάνω από έναν τροχό αλλάζει την κατεύθυνση της έλξης, ώστε ο εργάτης να χρησιμοποιεί το βάρος του σώματός του για να σηκώσει. Αυτό που δεν κάνει μια μονή σταθερή τροχαλία είναι να μειώσει την προσπάθεια. Σηκώστε έναν ογκόλιθο 100 kg μέσα από μια σταθερή τροχαλία, και πάλι τραβάτε με δύναμη 100 kg.

Στον Αρχιμήδη τον Συρακούσιο, που γεννήθηκε γύρω στο 287 π.Χ., οι αρχαίοι συγγραφείς αποδίδουν το πολύσπαστο, πολλούς τροχούς που δουλεύουν μαζί, και τη θεωρία που το εξηγεί: το μηχανικό πλεονέκτημα. Η αρχή είναι η ίδια που κάνει τον μοχλό να δουλεύει. Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς καταγράφει τη φράση που έγινε το σύνθημά του: «δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω», δώσε μου ένα σημείο να σταθώ και θα κινήσω τη γη.

figure 1: src /blog/img/move-earth.webp (unchanged); alt: Ο Αρχιμήδης κινεί τη γη με έναν μοχλό; caption: Δώσε μου ένα σημείο να σταθώ και θα κινήσω τη γη: ο μοχλός και το πολύσπαστο στηρίζονται στην ίδια ιδέα.

Το πλοίο στην ακτή

Ο Πλούταρχος διηγείται την ιστορία στον βίο του Μάρκελλου. Ο βασιλιάς Ιέρων των Συρακουσών, αμφιβάλλοντας για τον ισχυρισμό ότι μια μικρή δύναμη μπορεί να κινήσει ένα μεγάλο βάρος, ζήτησε μια επίδειξη. Ο Αρχιμήδης έβαλε να σύρουν ένα εμπορικό πλοίο, ένα από τα μεγαλύτερα του βασιλικού στόλου, στην ακτή, το φόρτωσαν με φορτίο και επιβάτες, και μετά, καθισμένος σε απόσταση και τραβώντας ένα σχοινί μέσα από ένα σύστημα τροχαλιών, το έσυρε πάνω στην άμμο τόσο ομαλά σαν να έπλεε με ανοιχτά πανιά. Το αν κάθε λεπτομέρεια είναι ακριβής μετράει λιγότερο από αυτό που δείχνει: η αριθμητική του πολύσπαστου ήταν αρκετά κατανοητή τον τρίτο αιώνα π.Χ. ώστε να σκηνοθετηθεί για έναν βασιλιά.

Η αριθμητική

Ένα σύστημα τροχαλιών πολλαπλασιάζει τη δύναμη με τον αριθμό των τμημάτων σχοινιού που φέρουν το φορτίο. Δέστε ένα φορτίο σε ένα κινητό μπλοκ που στηρίζεται από τέσσερα τμήματα σχοινιού, και η δύναμη στο ελεύθερο άκρο είναι το ένα τέταρτο του βάρους. Η ανύψωση ενός φορτίου 200 kg χρειάζεται τότε έλξη 50 kg. Το κόστος είναι η απόσταση: για να ανεβάσετε το φορτίο κατά ένα μέτρο, τραβάτε τέσσερα μέτρα σχοινί. Η ενέργεια διατηρείται. Η τροχαλία αλλάζει τη μορφή της εργασίας, όχι το ποσό της. Η τριβή σε κάθε τροχό παίρνει μερικά τοις εκατό, γι' αυτό τα πραγματικά συστήματα με περισσότερα από έξι ή οκτώ τμήματα παύουν να αποδίδουν.

• figure 2 (inline SVG, geometry unchanged); aria-label: Ένα σύστημα τροχαλιών με τέσσερα τμήματα σχοινιού που φέρουν το φορτίο: ένα φορτίο 200 kg ανεβαίνει ένα μέτρο ενώ έλξη 50 kg μαζεύει τέσσερα μέτρα σχοινί

SVG text labels (English | Greek):

English	Greek
FIXED BLOCK (anchored to the beam)	ΣΤΑΘΕΡΟ ΜΠΛΟΚ (αγκυρωμένο στη δοκό)
MOVING BLOCK	ΚΙΝΗΤΟ ΜΠΛΟΚ
Pull: 50 kg	Έλξη: 50 kg
takes in 4 m of rope	μαζεύει 4 m σχοινί
Load: 200 kg	Φορτίο: 200 kg
rises 1 m	ανεβαίνει 1 m
4 rope segments	4 τμήματα σχοινιού
carry the load	φέρουν το φορτίο
Mechanical advantage 4:1	Μηχανικό πλεονέκτημα 4:1
force on the rope = weight / 4	δύναμη στο σχοινί = βάρος / 4
rope pulled = height x 4	σχοινί που τραβιέται = ύψος x 4
Energy is conserved: the pulley	Η ενέργεια διατηρείται: η τροχαλία
changes the shape of the work,	αλλάζει τη μορφή της εργασίας,
not its amount.	όχι το ποσό της.

figure 2 caption: Ένα σύστημα τροχαλιών 4:1: τέσσερα τμήματα σχοινιού στηρίζουν το κινητό μπλοκ, οπότε έλξη 50 kg ανεβάζει φορτίο 200 kg, και τέσσερα μέτρα σχοινί μαζεύονται για κάθε μέτρο που ανεβαίνει το φορτίο.

Ο ίδιος κανόνας διαβάζεται σε κάθε διάταξη: μετρήστε τα τμήματα ανάμεσα στο σταθερό και στο κινητό μπλοκ, και αυτός ο αριθμός είναι το ιδανικό μηχανικό πλεονέκτημα. Είναι ολόκληρη η θεωρία, και είναι ο λόγος που ένα πλήρωμα δύο ατόμων μπορεί να σηκώσει ένα πανί, να βγάλει έναν κινητήρα από ένα αυτοκίνητο ή να ανεβάσει μια χαλύβδινη δοκό σε έναν τοίχο.

Η Αρπάγη

Ο Αρχιμήδης εφάρμοσε την ιδέα και στον πόλεμο. Κατά τη ρωμαϊκή πολιορκία των Συρακουσών, 214 έως 212 π.Χ., ο Πολύβιος, ο Λίβιος και ο Πλούταρχος περιγράφουν μια μηχανή τοποθετημένη στα τείχη της πόλης, που ονομάστηκε έκτοτε Αρπάγη του Αρχιμήδη: ένα σύστημα δοκού και τροχαλιών που έριχνε έναν γάντζο σε ένα επιτιθέμενο πλοίο, σήκωνε την πλώρη του έξω από το νερό τραβώντας το αντίβαρο στην άλλη άκρη, και το άφηνε να πέσει. Οι αφηγήσεις διαφέρουν στις λεπτομέρειες. Συμφωνούν ότι τα ρωμαϊκά πληρώματα σταμάτησαν να πλησιάζουν τα τείχη.

Γιατί οι μηχανικοί σκέφτονται ακόμη έτσι

Η πραγματική συνεισφορά του Αρχιμήδη δεν ήταν το υλικό αλλά η συνήθεια να ρωτά πού βρίσκεται ο μοχλός. Είκοσι δύο αιώνες αργότερα η ερώτηση είναι η ίδια σε ένα datacenter: πριν προσθέσετε δύναμη, βρείτε τον πολλαπλασιαστή. Μια cache μπροστά από μια βάση δεδομένων απαντά τα περισσότερα αιτήματα χωρίς να αγγίξει τον δίσκο. Ένας load balancer επιτρέπει σε μια μικρή ομάδα servers να σηκώσει κίνηση που θα ισοπέδωνε έναν. Ένα μετρημένο σημείο συμφόρησης διορθωμένο στην πηγή κάνει περισσότερα από ένα μεγαλύτερο μηχάνημα ριγμένο πάνω στο σύμπτωμα. Για το πώς βρίσκουμε αυτούς τους πολλαπλασιαστές γράφουμε στους ελέγχους επιδόσεων μας.